Technische Mechanik

Aug

2009

Flächenträgheitsmomente und Steiner-Anteil

Definition des Flächenträgheitsmomentes

Flächenträgheitsmoment

Das Flächenträgheitsmoment ist eine geometrische Größe eines Querschnitts, die bei der Biegung eine wesentliche Rolle spielt.
Flächenträgheitsmomente sind Flächenintegrale der 2. Ordnung.

Diese sind eingeteilt in axiale, biaxiale und polare Flächenträgheitsmomente, ihre Einheit ist:

[Laenge^4]doubleright[cm^4]

axial:

$I_y=int{}{}{z^2*dA}$
$I_z=int{}{}{y^2*dA}$

biaxial – Deviationsmoment/Zentrifugalmoment:

$I_yz=int{}{}{I_zy}=-int{}{}{yz*dA}$

polar:

$I_p=int{}{}{r^2*dA}=int{}{}{(z^2+y^2)dA}=I_y+I_z$

Die Größe eines Flächenträgheitsmomentes, hängt von der Lage des Koordinatenursprungs und der Richtung der Koordinatenachsen ab.

I_y, I_z und I_p sind immer positiv, wobei I_yz positiv, negativ, oder gleich Null sein kann.
Letzteres gilt, wenn die Fläche A symmetrisch zu mindestens einer Bezugsachse ist.

In der Skizze wäre I_yz gleich Null, da die z-Achse eine Symmetrieachse ist und sich die Flächenintegrale aufheben. (+y / -y)
Es existiert zu jedem Flächenelement dA mit positivem Abstand +y, ein Element mit gleichem negativen Abstand -y.
Das Integral über die Gesamtflächen ist somit gleich Null.

Deviationsmoment gleich Null

Falls die Fläche aus mehreren Teilflächen besteht:

$I_y=int{A}{}{z^2*dA}=int{A_1}{}{z^2*dA}+int{A_2}{}{z^2*dA}+~...~doubleright~sum{}{}{I_y_i}$

Die weiteren Flächenträgheitsmomente erhält man auch analog durch Summation:

$I_z=sum{}{}{I_z_i}$
$I_yz=sum{}{}{I_yz_i}$

Beispiel:

Berechne das Flächenmoment 2. Ordnung (Flächenträgheitsmoment) für ein Rechteck (Breite b und Höhe h) bezüglich der seitenparallelen Achsen y und z durch den Schwerpunkt S.

Flächenträgheitsmoment am Rechteck

Um zunächst I_y zu bestimmen, wähle ich ein Flächenelement dA (siehe Skizze). Dieses ist infinitesimal klein und alle Punkte in diesem Flächenabschnitt haben somit den gleichen Abstand z von der Koordinatenachse y.

Die Breite der infinitesimalen Fläche ist dz. Somit gilt für dessen Fläche: dA=dz*b

Folglich können wir rechnen:

$I_y=int{}{}{z^2*dA}=int{-h/2}{+h/2}{z^2(bdz)}=bh^3/12$

Auf I_z kommen wir ganz einfach durch vertauschen von b und h:

I_z=hb^3/12

Das Deviationsmoment I_yz ist bei mindestens einer Symmetrieachse gleich Null. In unserem Beispiel haben wir sogar zwei Symmetrieachsen.

I_yz=0

Das polare Trägheitsmoment errechnet sich durch die zwei nun bekannten Größen I_y und I_z:

I_p=I_y+I_z=bh^3/12+hb^3/12=bh/12~*(h^2+b^2)

Parallelverschiebung der Bezugsachsen durch Steineranteile

Parallelverschiebung der Bezugsachsen

Möchte man das Bezugssystem aus dem Schwerpunkt eines Körpers verschieben, kommen die Steineranteile zum Einsatz.

Die Schwerachsen sollen jetzt durch Parallelverschiebung versetzt werden.

y,z~doubleright~hat{y},hat{z}

Logische Folgerung:
z und y müssen zum Überführen in das neue Koordinatensystem um die Abstände $hat{z_s}~und~hat{y_s}$ verlängert werden.

Somit gilt für das neue Koordinatensystem folgendes:

$hat{y}=y+hat{y_s}~;~~hat{z}=z+hat{z_s}$

und für die Trägheitsmomente des hat{y}~,~~hat{z} Systems:

$I_hat{y}=int{}{}{hat{z}^2*dA}=int{}{}{(z+hat{z_s})^2*dA}$
$I_hat{z}=int{}{}{hat{y}^2*dA}=int{}{}{(y+hat{y_s})^2*dA}$
$I_hat{yz}=-int{}{}{hat{yz}^2*dA}=-int{}{}{(z+hat{z_s})(y+hat{y_s})*dA}$

Da die statischen Momente (Flächenmomente 1. Ordnung) int{}{}{z*dA}~und~int{}{}{y*dA} bezüglich der Schwerachsen y,z verschwinden, folgt daraus mit $int{}{}{dA}~,~~I_y=int{}{}{z^2*dA}~,~~...$ folgendes: