Roman Harcke
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Thermodynamik

Jul
26
2009

Carnot Prozess – ein Kreisprozess

Verfasst von Roman (1) Kommentar

Kurze Erklärung zu Kreisprozessen:

Der Carnot Prozess ist der Standardprozess der Kategorie “Kreisprozesse“.
Bei einem Kreisprozess werden unter dem Einfluss von Änderungen intensiver Zustandsgrößen (Druck, Temperatur) und von Zu- bwz Abfuhr von Wärme/Arbeit mehrere Zustandsänderungen durchlaufen.

Der Zustand im Endpunkt = Zustand im Anfangspunkt.

Wärmekraftmaschienen durchlaufen Kreisprozesse, damit Wärme in mechanische Energie umgewandelt wird.
Fast die gesamte mechanische oder elektrische Energie wird heutzutage über den Zwischenschritt der Wärmeerzeugung in Wärmekraftanlagen gewonnen, in denen Kreisprozesse ablaufen.
Ausnahmen sind hierbei allerdings alternative Energiegewinnungsprozesse wie zum Beispiel Wasser- oder Windkraft, Brennstoff- oder Fotozellen.

Ein sehr bekannter, thermodynamischer Kreisprozess, war im 18. Jahrhundert die Basis für die industrielle Revolution – die Dampfmaschine.

Hintergrund zum Carnot-Prozess:

Der Carnotprozess ist ein reversibler Kreisprozess.
Er wurde 1824 von Sadi Carnot dazu benutzt, die thermodynamischen Vorgänge einer Dampfmaschine näher zu untersuchen.
Obwohl der Carnot-Prozess die Vorgänge beim Dampfmaschinen-Kreisprozess nicht exakt wiedergibt und sich apparate- und maschinentechnisch kaum realisieren lässt, ist er doch für die Thermodynamik der Kreisprozesse als
Vergleichs- und Standardprozess von großer Bedeutung.

Erläuterung zum Carnot Prozess

Dieser Kreisprozess läuft über insgesamt vier Zustandsänderungen ab.

Über die beiden Isothermen (1-2) und (3-4) wird dem System Wärme hinzu- bzw. abgeführt.

Die zweiten Zustandsänderungen im Carnot-Prozess sind Isentropen.

Diese Wärmezufuhr bzw. Wärmeabfuhr ist so vorstellbar, dass während dieser Zustandsänderungen das Arbeitsmedium mit je einem Wärmespeicher sehr großer Kapazität mit der konstanten Temperatur:

T_max~=~T_1~=~T_2~~~bzw.~~~T_min~=~T_3~=~T_4

in wärmeleitender Verbindung steht.

Bei den isentropen Zustandsänderungen 2 – 3 (Entspannung) und 4 – 1 (Verdichtung) ist ein Wärmeaustausch mit der Umgebung ausgeschlossen und es findet keine Entropiezunahme durch Irreversibilitäten statt.

Volumenarbeit und ausgetauschte Wärme

Während den Zustandsänderungen wird Volumenarbeit w geleistet und Wärme q ausgetauscht.

Für ein Ideales Gas als Arbeitsmedium gilt folgendes:

CarnotProzess-T-s-Diagramm

CarnotProzess-T-s-Diagramm

  • Isotherme (1-2):
    w_12~=~-R*T_1*ln(v_2/v_1)
    q_12~=~-w_12~=~q_zu
  • Isentrope (2-3):
    w_23~=~c_v*(T_3-T_2)
    q_23~=~0
  • Isotherme (3-4):
    w_34~=~R*T_3*ln(v_3/v_4)
    q_34~=~-w_34~=~q_ab
  • Isentrope (4-1):
    w_41~=~c_v*(T_1-T_4)
    q_14~=~0

Wirkungsgrad des Carnot-Prozesses

Für den thermodynamischen Wirkungsgrad des Carnot-Prozesses gilt für jedes Fluid:

eta_c~=~T_1-T_3/T_1~=~T_max-T_min/T_max~=~1-T_min/T_max

Merke:

Der Carnot-Prozess hat den höchsten Wirkungsgrad.

Je höher die Temperatur der Wärmezufuhr und je niedriger die Temperatur der Wärmeabfuhr – umso mehr nähert sich der Wirkungsgrad dem Wert 1.

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Kategorie : Thermodynamik | Blog
Jul
26
2009

Formelsammlung – Thermodynamik

Verfasst von Roman (0) Kommentare

1. Allgemeines der Thermodynamik

1.1 Wichtige Formeln:

  • Erster Hauptsatz für geschlossene Systeme: dU~=~dQ+dW
  • Äquivalenz von Wärme und Arbeit: U_2-U_1~=~Q_12+W_12
  • dU~=~dQ-pdV : positiv bei Kompression – negativ bei Expansion
  • dQ~=~dU+pdV : Zufuhr von Wärme vergrößert U oder V
  • Änderung der inneren Energie bei starren Wänden: U_2-U_1~=~Q_12
  • Enthalpie: H~=~U+p*V
  • Bei Idealen Gasen ist: V approx T (p=const)
  • Zustandsgleichung des Idealen Gases: p*V~=~m*R*T
  • Zustandsgleichung des Idealen Gases: p*v~=~R*T
  • Zustandsgleichung des Idealen Gases: p*V/n~=~(m/n)*R*T
  • Zustandsgleichung des Idealen Gases: p*hat{v}~=~M*R*T
  • Universelle Gaskonstante: hat{R}~=~M*R~=~p~hat{v}/T
  • Gesamtdruck eines Systems: p~=~sum{i=1}{k}{p_i}

1.2 Wichtige Konstanten:

  • Avogadro-Konstante: N_A~=~6,02205*10^23 ~mol^-1
  • Universelle Gaskonstante: hat{R}~=~8,314 ~ J/mol*K

2. Formeln der Zustandsänderungen

2.1 Isochore Zustandsänderung

2.1.1 Generell

  • Das Volumen ist konstant. v~=~const
  • Wegen v~=~const und dv~=~0 tritt keine Volumenänderungsarbeit auf.

2.1.2 Formeln

  • Bei Idealem Gas folgt wegen v=v1=v2 aus der Zustandsgleichung p*v=R*T: p_1/T_1~=~p_2/T_2
  • zugeführte Wärme: q_12~=~u_2-u_1~=~int{1}{2}{c_v*dT}

2.2 Isobare Zustandsänderung

2.2.1 Generell

  • Der Druck ist konstant. p~=~const

2.2.2 Konstanten

  • Isobare spezifische Wärmekapazität: c_p=~1,006~ kJ/kg*K

2.2.3 Formeln

  • Q~=~c_p*m* Delta T
  • W~=~-m*R* Delta T
  • U~=~Q+W
  • v_1/T_1~=~v_2/T_2~~ODER~~v_1/v_2~=~T_1/T_2
  • Volumenänderungsarbeit allgemein: w_12~=~-p int{1}{2}{dv}~=~-p*(v_2-v_1)
  • Volumenänderungsarbeit (Ideales Gas): w_12~=~-R*(T_2-T_1)

2.3 Isotherme Zustandsänderung

2.3.1 Generell

  • Temperatur ist konstant. T~=~const

2.3.2 Formeln

  • allgemeine Volumenänderungsarbeit: w_12~=~-int{1}{2}{p*dv}
  • Volumenänderungsarbeit für Ideales Gas: w_12~=~-R*T int{1}{2}{dv/v}~=~-R*T*ln v_2/v_1~=~-R*T*ln p_1/p_2~=~-p_1~v_1~ln p_1/p_2
  • isotherme Zustandsänderung wegen p1*v1=p2*v2: w_t12~=~w_12
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Kategorie : Thermodynamik | Blog
Jul
21
2009

Ideale Gase – ausführliche Zusammenfassung

Verfasst von Roman (3) Kommentare

Inhaltsverzeichnis (zum Öffnen/Schliessen bitte Klicken)

  1. Teil 1

    1.1 Modell des idealen Gases

    1.2 Kinetische Gastheorie

    1.3 Thermische Zustandsgleichung

    1.4 Kalorische Zustandsgleichung

    1.5 Mischung Idealer Gase

  2. Teil 2

    2.1 Isochore Zustandsänderung

    2.2 Isobare Zustandsänderung

    2.3 Isotherme Zustandsänderung

  3. Zusammenfassung der Formeln

    3.1 Ideale Gasgleichung

    3.2 Erster Hauptsatz für geschlossene Systeme

    3.3 Innere Energie

    3.4 Enthalpie

    3.5 Wärmekapazität

Teil 1 – Ideale Gase

1.1 – Modell des Idealen Gases

Gasteilchen sind ausdehnungslose Masseteilchen, die sich frei durch das verfügbare Volumen bewegen können.
Sie verspüren keinerlei Wechselwirkungen untereinander.
Allerdings dürfen und müssen sich die Teilchen untereinander und an der Wand des Volumens abstoßen.

Ein Gasteilchen bewegt sich gradlinig und mit konstanter Geschwindigkeit, bis es ein elastischer Stoß in eine andere Richtung ablenkt und dabei beschleunigen oder abbremsen kann.

1.2 – Kinetische Gasteilchen

Die kinetische Gastheorie erklärt die Gasgesetze und die Eigenschaften von Gasen durch Bewegungsvorgänge ihrer Teilchen.

Wichtigste Aussagen der Kinetischen Gastheorie:

  1. Die Teilchen eines Gases sind ständig in ungeordneter Bewegung.
  2. Zwischen ihren Zusammenstößen bewegen sie sich gleichförmig und unabhängig voneinander.
  3. Die Teilchen üben keine Kräfte aufeinander aus, solange sie sich nicht berühren.
  4. Der Aufprall der Teilchen an der Gefäßwand, gehorcht dem Gesetz des elastischen Stoßes und verursacht den Gasdruck.

Obrige Aspekte beschreiben das “Ideale Gas”.
Die Theorie des “Realen Gases” erfolgt durch Ergänzung eines weiteren Aspektes der Wechselwirkungen und der Brown’schen Molekularbewegung.

1.3 – Thermische Zustandsgleichung

Robert Boyle und Edme Mariotte erkannten 1662 und 1679, dass das Produkt von p*V bei idealen Gasen unter konstanter Temperatur, gleich einer Konstante ist, die nur von der Temperatur anhängt und zur Masse proportional ist.

So schreibt man:

p*V=m*f(T)

1802 entdeckte dann Louis Joseph Gay-Lussac, dass das Volumen unter konstantem Druck linear von der Temperatur abhängt.

V approx T (bei p=const)

Vereint man diese zwei Gesetze, erhält man die Zustandsgleichung des Idealen Gases:

p*V=m*R*T oder p*v=R*T

Die individuelle/spezielle Gaskonstante R ist für jedes Gas charakteristisch und kann über p,v und T ermittelt werden.

Die ideale Gasgleichung lässt sich für molare Größen umschreiben, indem durch die Molmenge n dividiert wird:

p*V/n=m/n *R*T

mit m=M*n ergibt sich:

p*hat{v}=M*R*T dabei ist hat{v} das molare Volumen, M die Molmasse.

Nach dem “Gesetz von Avogadro” enthalten alle idealen Gase bei gleichem Volumen und gleichem Zustand (Druck p und Temperatur T) gleich viele Teilchen. Umgekehrt nimmt eine bestimmte Teilchenzahl, bei idealen Gasen unter gleichen Bedingungen, dasa gleiche Volumen ein.
So hängt das molare Volumen hat{v} der idealen Gase nur vom Zustand (Druck p und Temperatur T) und nicht von der Gasart ab.

Es lässt sich also folgendes schreiben:

p*hat{v}/T=M*R=hat{R}; hat{R} ist die universelle Gaskonstante: hat{R}=8,314 J/mol*K

1.4 – Kalorische Zustandsgleichung

In dem Überströmungsversuch von Joule, stellt sich nach Beruhigung der Strömung die ursprüngliche Temperatur wieder ein.
Die Innere Energie des Idealen Gases hängt weder vom Volumen, noch von Druck ab, sondern nur von der Temperatur.

So gilt: du=c_v*dT oder u= int{1}{2}{c_v*dT+u_0}

1.5 – Mischung Idealer Gase

Ein Gemisch Idealer Einzelgase, verhält sich ebenfalls wie ein ideales Gas.
Beim Mischen von Gasen sinkt der Druck (Partialdruck p_i) den dieses vorher auf die Wand des Volumes ausübte, indem es aufbewahrt wurde.

Der Gesamtdruck p der Mischung setzt sich aus den einzelnen Partialdrücken der Idealen Gase zusammen:

p=p_1+p_2+p_2 oder allgemein p=sum{i=1}{k}{p_i}

Die Zustandsgleichung für die i-te Komponente vor der Mischung lautet:

p*V_i=m_i*R_i*T und nach der Mischung: p_i*V=m_i*R_i*T

So folgt: p*V_i=p_i*V oder: V_i/V=p_i/p

Für die Gaskonstante R_M der Mischung ergibt sich:

R_M=sum{i=1}{k}{[(m_i/m)*R_i]}

Teil 2 – Zustandsänderungen von Idealen Gasen

Fünf verschiedene Zustandsänderungen bei Gasen:

  1. Isochore Zustandsänderung
  2. Isobare Zustandsänderung
  3. Isotherme Zustandsänderung
  4. Adiabate Zustandsänderung
  5. Polytrope Zustandsänderung

zustandsaenderungen

2.1 – Isochore Zustandsänderung

Bei der Isochoren Zustandsänderung bleibt entweder eine Zustandsgröße konstant, oder der Austausch Wärme und/oder Arbeit über die Systembegrenzung ist ausgeschlossen.

Beispiel für Isochore Zustandsänderung:
Ein in einem Behälter mit starren Wänden eingeschlossenes Medium wird erwärmt oder gekühlt.

Bei einem Idealen Gas folgt aufgrund v=v_1=v_2 und der Zustandsgleichung p*v=R*T:

p_1/T_1=p_2/T_2

Bei der Isochoren Erwärmung tritt wegen v=const und dv=0, keine Volumensänderungsarbeit auf.
isochore-erwaermung

Anwendung der Isochoren Erwärmung auf den 1. Hauptsatz:

  1. U = Innere Energie des Systems; definiert durch Änderung U_2-U_1.
  2. W_12 = Arbeit

U_2-U_1=Q_12+W_12

Da jedoch v=const und somit auch dv=0, tritt keine Volumenänderungsarbeit auf -> W_12=0.
Somit gilt bei der isochoren Erwärmung nach dem 1. Hauptsatz für geschlossene Systeme folgendes:

Q_12=U_2-U_1

Mit der isochoren spezifischen Wärmekapazität c_v gilt:

Q_12=U_2-U_1=int{1}{2}{c_v*dT}
oder: Q_12=c_vm delim{|}{(T_2-T_1)}{|} mit c_vm als Mittelwert von c_v zwischen T_1 und T_2

MERKE:
Bei isochoren Zustandsänderungen ist die zu- bwz. abgeführte Wärme gleich der Änderung der inneren Energie.

Q_12=dU_12=U_2-U_1

2.2 – Isobare Zustandsänderung

isobare-zustandsaenderungBei der isobaren Zustandsänderung (p=const) gilt nach der Zustandsgleichung des Idealen Gases p*v=R*T:

v_1/T_1=v_2/T_2 oder: v_1/v_2=T_1/T_2

Die Isobare Zustandsänderung von 1 nach 2 leistet Volumenänderungsarbeit:

w_12=-p int{1}{2}{d_v}=-p*(v_2-v_1)

und für ein Ideales Gas auch:

w_12=-R*(T_2-T_1)

Nach dem 1. Hauptsatz gilt für die zugeführte Wärme:

Q_12=U_2-U_1-W_12=U_2-U_1+pv_2-pv_1

und mit h=u+pv:

Q_12=h_2-h_1=int{1}{2}{c_p*dT}
ODER: Q_12=c_p m delim{|}{(T_2-T_1)}{|}; mit c_p m als Mittelwert

MERKE:
Bei der Isobaren Zustandsänderung ist die zu- bzw abgeführte Wärme gleich der Änderung der Enthalpie.

Q_12=dH=H_2-H_1=int{1}{2}{c_p*dT}

2.3 – Isotherme Zustandsänderung

isotherme-zustandsaenderungBei der Isothermen Zustandsänderung ist die Volumenänderungsarbeit allgemein: W_12=-{1}{2}{p*dv}

Für Ideale Gase gilt mit p=R*T/v:

W_12=-R*T int{1}{2}{dv/v}=-R*T*ln v_2/v_1=-R*T*ln p_1/p_2=-p_1*v_1*ln p_1/p_2

Volumenänderungsarbeit und technische Arbeit w_tsind bei isothermer Zustandsänderung eines Idealen Gases gleich hoch.

Aus dem 1. Hauptsatz du=dg+dw=dq-pdv folgt für Ideale Gase, bei denen die innere Energie n nur von der Temperatur abhängt, für isothermische Zustandsänderungen:

du=0=dq+dw

ODER:

q_12=-w_12=-w_t_12

MERKE:
Zugeführte Wärme wird bei isothermer Zustandsänderung eines Idealen Gases vollständig als Arbeit wieder abgegeben.

q_12=-w_12

Teil 3 – Zusammenfassung der Idealen Gase

3.1 – Wichtige Formeln:

  1. p*V=R*m*T >> Ideale Gasgleichung
  2. dU=dQ-p*dV >> 1. Hauptsatz für geschlossene Systeme
  3. U=c_v*m*T >> Innere Energie
  4. H=U+p*V >> Enthalpie
  5. c_p=c_v*R >> Wärmekapazität

3.2 – Zusammenfassung der Zustandsänderungen

3.2.1 – Isochore Zustandsänderung:

Zugeführte Wärme erhöht nur die Innere Energie:

W_12=0; Q_12=c_v*m* Delta T

3.2.2 – Isotherme Zustandsänderung:

Zugeführte Wärme wird komplett in mechanische Arbeit umgewandelt:

Q_12=-W_12

W_12=m*r*T*ln(V_1/V_2) oder ln(p_2/p1)
W_12=p_1*V_1*ln(V_1/V_2) oder ln(p_2/p_1)

3.2.3 – Isobare Zustandsänderung:

Q_12=c_p*m* Delta T >> Übertragene Wärme
W_12=-m*R* Delta T >> Volumenänderungsarbeit

3.2.4 – Isentrope Zustandsänderung:

Q_12=0 >> Keine Übertragung von Wärme
W_12=m*R* Delta T/(K-1) >> Volumenänderungsarbeit

3.2.5 – Polytrope Zustandsänderung:

Q_12=c_v*m* Delta T (n-K)/(n-1) >> übertragende Wärme
W_12=m*R* Delta T /(n-1) >> Volumenänderungsarbeit

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Kategorie : Thermodynamik | Blog
Jul
18
2009

Thermodynamische Zustandsgrößen

Verfasst von Roman (0) Kommentare

1. Thermodynamische Zustandsgrößen

Ein thermodynamisches System, das sich im Gleichgewichtszustand befindet, ist durch eine bestimmte Anzahl von Zustandsgrößen eindeutig bestimmbar.

1.1 Masse, Molmenge

Die Substanzmenge eines Systems wird durch die Masse m [kg] oder die Molmenge n [mol] (auch Stoffmenge, Teilchenmenge) angegeben.

Ein Mol ist die Stoffmenge, die aus ebenso vielen Teilchen besteht, wie Atome in 0,012 kg des Nuklids 12C enthalten sind. Diese Teilchenanzahl ist die Avogadro-Konstante N_A (auch Loschmidt-Konstante N_L):

N_A = 6,02205 * 10^23 mol^-1.

Die Masse eines Systems ist der Menge seiner Teilchen proportional (m ~ n).

Der Proportionalitätsfaktor ist die molare Masse M:

m = M * n.

1.2 Volumen, Druck

Die Masse m eines thermodynamischen Systems nimmt ein Raum vom Volumen V ein. Das spezifische Volumen v ist auf die Masse m bezogen:

v = V/m

Die Einheit vom spezifischen Volumen v ist: m^3/kg.

Der Kehrwert des spezifischen Volumens v ist die Dichte rho:

rho = 1/v = m/V.

Der Quotient aus Normalkraft F und Fläche A wird als Druck bezeichnet:

rho = F/A

Einheit: delim{[}{1 Pa=1 N/m^2 = 1 kg/(m*s^2) mit 1 N = 1 kg*m/s^2}{]}

Da diese Einheit sehr klein ist, verwendet man meist das Bar (bar):

1 bar = 10^5 N/m^2 = 10^5 Pa

Der Druck wird in der kinetischen Gastheorie als Gesamtwirkung der Stöße der Molekühle auf die Wand gedeutet.
Für den thermodynamischen Zustand eines Systems ist der darin herrschende Druck rho maßgeblich.

2.3 Temperatur

Die Zustandsgröße eines thermodynamischen Systems, die mit einem Thermometer gemessen werden kann, ist die Temperatur.

Nach der kinetischen Gastheorie ist die Temperatur ,dem Mittelwert der kinetischen Energie der Molekülen (Translation, Rotation, Schwingung) proportional.

Zwei Systeme mit gleicher Temperatur stehen im thermischen Gleichgewicht.
Wenn jedes System von zwei Systemen mit einem dritten im Gleichgewicht steht,
stehen auch die zwei Systeme untereinander im Gleichgewicht ( -> nullter Hauptsatz der Thermodynamik).

Die niedrigste mögliche Temperatur ist t_0=-273,15 C.
Bei diesem absoluten Nullpunkt ist die Bewegung der Moleküle gleich Null.

Die vom absoluten Nullpunkt aus gezählte Temperatur ist die absolute Temperatur T in der Einheit Kelvin (K).
Temperaturdifferenzen werden in K angegeben.

T = 273,15 + t mit T in K und t in �C

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