Ideale Gase – ausführliche Zusammenfassung

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Obrige Aspekte beschreiben das “Ideale Gas”.
Die Theorie des “Realen Gases” erfolgt durch Ergänzung eines weiteren Aspektes der Wechselwirkungen und der Brown’schen Molekularbewegung.

1.3 – Thermische Zustandsgleichung

Robert Boyle und Edme Mariotte erkannten 1662 und 1679, dass das Produkt von bei idealen Gasen unter konstanter Temperatur, gleich einer Konstante ist, die nur von der Temperatur anhängt und zur Masse proportional ist.

So schreibt man:

1802 entdeckte dann Louis Joseph Gay-Lussac, dass das Volumen unter konstantem Druck linear von der Temperatur abhängt.

(bei p=const)

Vereint man diese zwei Gesetze, erhält man die Zustandsgleichung des Idealen Gases:

oder

Die individuelle/spezielle Gaskonstante R ist für jedes Gas charakteristisch und kann über p,v und T ermittelt werden.

Die ideale Gasgleichung lässt sich für molare Größen umschreiben, indem durch die Molmenge n dividiert wird:

mit ergibt sich:

dabei ist das molare Volumen, M die Molmasse.

Nach dem “Gesetz von Avogadro” enthalten alle idealen Gase bei gleichem Volumen und gleichem Zustand (Druck p und Temperatur T) gleich viele Teilchen. Umgekehrt nimmt eine bestimmte Teilchenzahl, bei idealen Gasen unter gleichen Bedingungen, dasa gleiche Volumen ein.
So hängt das molare Volumen der idealen Gase nur vom Zustand (Druck p und Temperatur T) und nicht von der Gasart ab.

Es lässt sich also folgendes schreiben:

; ist die universelle Gaskonstante:

1.4 – Kalorische Zustandsgleichung

In dem Überströmungsversuch von Joule, stellt sich nach Beruhigung der Strömung die ursprüngliche Temperatur wieder ein.
Die Innere Energie des Idealen Gases hängt weder vom Volumen, noch von Druck ab, sondern nur von der Temperatur.

So gilt: oder

1.5 – Mischung Idealer Gase

Ein Gemisch Idealer Einzelgase, verhält sich ebenfalls wie ein ideales Gas.
Beim Mischen von Gasen sinkt der Druck (Partialdruck ) den dieses vorher auf die Wand des Volumes ausübte, indem es aufbewahrt wurde.

Der Gesamtdruck p der Mischung setzt sich aus den einzelnen Partialdrücken der Idealen Gase zusammen:

oder allgemein

Die Zustandsgleichung für die i-te Komponente vor der Mischung lautet:

und nach der Mischung:

So folgt: oder:

Für die Gaskonstante der Mischung ergibt sich:

Teil 2 – Zustandsänderungen von Idealen Gasen

Fünf verschiedene Zustandsänderungen bei Gasen:

1. Isochore Zustandsänderung
2. Isobare Zustandsänderung
3. Isotherme Zustandsänderung
4. Adiabate Zustandsänderung
5. Polytrope Zustandsänderung

2.1 – Isochore Zustandsänderung

Bei der Isochoren Zustandsänderung bleibt entweder eine Zustandsgröße konstant, oder der Austausch Wärme und/oder Arbeit über die Systembegrenzung ist ausgeschlossen.

Beispiel für Isochore Zustandsänderung:
Ein in einem Behälter mit starren Wänden eingeschlossenes Medium wird erwärmt oder gekühlt.

Bei einem Idealen Gas folgt aufgrund und der Zustandsgleichung :

Bei der Isochoren Erwärmung tritt wegen und , keine Volumensänderungsarbeit auf.

Anwendung der Isochoren Erwärmung auf den 1. Hauptsatz:

1. U = Innere Energie des Systems; definiert durch Änderung .
2. = Arbeit

Da jedoch und somit auch , tritt keine Volumenänderungsarbeit auf -> .
Somit gilt bei der isochoren Erwärmung nach dem 1. Hauptsatz für geschlossene Systeme folgendes:

Mit der isochoren spezifischen Wärmekapazität gilt:

oder: mit als Mittelwert von zwischen und

MERKE:
Bei isochoren Zustandsänderungen ist die zu- bwz. abgeführte Wärme gleich der Änderung der inneren Energie.

2.2 – Isobare Zustandsänderung

Bei der isobaren Zustandsänderung gilt nach der Zustandsgleichung des Idealen Gases :

oder:

Die Isobare Zustandsänderung von 1 nach 2 leistet Volumenänderungsarbeit:

und für ein Ideales Gas auch:

Nach dem 1. Hauptsatz gilt für die zugeführte Wärme:

und mit :

ODER: ; mit als Mittelwert

MERKE:
Bei der Isobaren Zustandsänderung ist die zu- bzw abgeführte Wärme gleich der Änderung der Enthalpie.

2.3 – Isotherme Zustandsänderung

Bei der Isothermen Zustandsänderung ist die Volumenänderungsarbeit allgemein:

Für Ideale Gase gilt mit :

Volumenänderungsarbeit und technische Arbeit sind bei isothermer Zustandsänderung eines Idealen Gases gleich hoch.

Aus dem 1. Hauptsatz folgt für Ideale Gase, bei denen die innere Energie n nur von der Temperatur abhängt, für isothermische Zustandsänderungen:

ODER:

MERKE:
Zugeführte Wärme wird bei isothermer Zustandsänderung eines Idealen Gases vollständig als Arbeit wieder abgegeben.

Teil 3 – Zusammenfassung der Idealen Gase

3.1 – Wichtige Formeln:

1. >> Ideale Gasgleichung
2. >> 1. Hauptsatz für geschlossene Systeme
3. >> Innere Energie
4. >> Enthalpie
5. >> Wärmekapazität

3.2 – Zusammenfassung der Zustandsänderungen

3.2.1 – Isochore Zustandsänderung:

Zugeführte Wärme erhöht nur die Innere Energie:

;

3.2.2 – Isotherme Zustandsänderung:

Zugeführte Wärme wird komplett in mechanische Arbeit umgewandelt:

oder
oder

3.2.3 – Isobare Zustandsänderung:

>> Übertragene Wärme
>> Volumenänderungsarbeit

3.2.4 – Isentrope Zustandsänderung:

>> Keine Übertragung von Wärme
>> Volumenänderungsarbeit

3.2.5 – Polytrope Zustandsänderung:

>> übertragende Wärme
>> Volumenänderungsarbeit