Inhaltsverzeichnis (zum Öffnen/Schliessen bitte Klicken)

  1. Teil 1

    1.1 Modell des idealen Gases

    1.2 Kinetische Gastheorie

    1.3 Thermische Zustandsgleichung

    1.4 Kalorische Zustandsgleichung

    1.5 Mischung Idealer Gase

  2. Teil 2

    2.1 Isochore Zustandsänderung

    2.2 Isobare Zustandsänderung

    2.3 Isotherme Zustandsänderung

  3. Zusammenfassung der Formeln

    3.1 Ideale Gasgleichung

    3.2 Erster Hauptsatz für geschlossene Systeme

    3.3 Innere Energie

    3.4 Enthalpie

    3.5 Wärmekapazität

Teil 1 – Ideale Gase

1.1 – Modell des Idealen Gases

Gasteilchen sind ausdehnungslose Masseteilchen, die sich frei durch das verfügbare Volumen bewegen können.
Sie verspüren keinerlei Wechselwirkungen untereinander.
Allerdings dürfen und müssen sich die Teilchen untereinander und an der Wand des Volumens abstoßen.

Ein Gasteilchen bewegt sich gradlinig und mit konstanter Geschwindigkeit, bis es ein elastischer Stoß in eine andere Richtung ablenkt und dabei beschleunigen oder abbremsen kann.

1.2 – Kinetische Gasteilchen

Die kinetische Gastheorie erklärt die Gasgesetze und die Eigenschaften von Gasen durch Bewegungsvorgänge ihrer Teilchen.

Wichtigste Aussagen der Kinetischen Gastheorie:

  1. Die Teilchen eines Gases sind ständig in ungeordneter Bewegung.
  2. Zwischen ihren Zusammenstößen bewegen sie sich gleichförmig und unabhängig voneinander.
  3. Die Teilchen üben keine Kräfte aufeinander aus, solange sie sich nicht berühren.
  4. Der Aufprall der Teilchen an der Gefäßwand, gehorcht dem Gesetz des elastischen Stoßes und verursacht den Gasdruck.

Obrige Aspekte beschreiben das “Ideale Gas”.
Die Theorie des “Realen Gases” erfolgt durch Ergänzung eines weiteren Aspektes der Wechselwirkungen und der Brown’schen Molekularbewegung.

1.3 – Thermische Zustandsgleichung

Robert Boyle und Edme Mariotte erkannten 1662 und 1679, dass das Produkt von p*V bei idealen Gasen unter konstanter Temperatur, gleich einer Konstante ist, die nur von der Temperatur anhängt und zur Masse proportional ist.

So schreibt man:

p*V=m*f(T)

1802 entdeckte dann Louis Joseph Gay-Lussac, dass das Volumen unter konstantem Druck linear von der Temperatur abhängt.

V approx T (bei p=const)

Vereint man diese zwei Gesetze, erhält man die Zustandsgleichung des Idealen Gases:

p*V=m*R*T oder p*v=R*T

Die individuelle/spezielle Gaskonstante R ist für jedes Gas charakteristisch und kann über p,v und T ermittelt werden.

Die ideale Gasgleichung lässt sich für molare Größen umschreiben, indem durch die Molmenge n dividiert wird:

p*V/n=m/n *R*T

mit m=M*n ergibt sich:

p*hat{v}=M*R*T dabei ist hat{v} das molare Volumen, M die Molmasse.

Nach dem “Gesetz von Avogadro” enthalten alle idealen Gase bei gleichem Volumen und gleichem Zustand (Druck p und Temperatur T) gleich viele Teilchen. Umgekehrt nimmt eine bestimmte Teilchenzahl, bei idealen Gasen unter gleichen Bedingungen, dasa gleiche Volumen ein.
So hängt das molare Volumen hat{v} der idealen Gase nur vom Zustand (Druck p und Temperatur T) und nicht von der Gasart ab.

Es lässt sich also folgendes schreiben:

p*hat{v}/T=M*R=hat{R}; hat{R} ist die universelle Gaskonstante: hat{R}=8,314 J/mol*K

1.4 – Kalorische Zustandsgleichung

In dem Überströmungsversuch von Joule, stellt sich nach Beruhigung der Strömung die ursprüngliche Temperatur wieder ein.
Die Innere Energie des Idealen Gases hängt weder vom Volumen, noch von Druck ab, sondern nur von der Temperatur.

So gilt: du=c_v*dT oder u= int{1}{2}{c_v*dT+u_0}

1.5 – Mischung Idealer Gase

Ein Gemisch Idealer Einzelgase, verhält sich ebenfalls wie ein ideales Gas.
Beim Mischen von Gasen sinkt der Druck (Partialdruck p_i) den dieses vorher auf die Wand des Volumes ausübte, indem es aufbewahrt wurde.

Der Gesamtdruck p der Mischung setzt sich aus den einzelnen Partialdrücken der Idealen Gase zusammen:

p=p_1+p_2+p_2 oder allgemein p=sum{i=1}{k}{p_i}

Die Zustandsgleichung für die i-te Komponente vor der Mischung lautet:

p*V_i=m_i*R_i*T und nach der Mischung: p_i*V=m_i*R_i*T

So folgt: p*V_i=p_i*V oder: V_i/V=p_i/p

Für die Gaskonstante R_M der Mischung ergibt sich:

R_M=sum{i=1}{k}{[(m_i/m)*R_i]}

Teil 2 – Zustandsänderungen von Idealen Gasen

Fünf verschiedene Zustandsänderungen bei Gasen:

  1. Isochore Zustandsänderung
  2. Isobare Zustandsänderung
  3. Isotherme Zustandsänderung
  4. Adiabate Zustandsänderung
  5. Polytrope Zustandsänderung

zustandsaenderungen

2.1 – Isochore Zustandsänderung

Bei der Isochoren Zustandsänderung bleibt entweder eine Zustandsgröße konstant, oder der Austausch Wärme und/oder Arbeit über die Systembegrenzung ist ausgeschlossen.

Beispiel für Isochore Zustandsänderung:
Ein in einem Behälter mit starren Wänden eingeschlossenes Medium wird erwärmt oder gekühlt.

Bei einem Idealen Gas folgt aufgrund v=v_1=v_2 und der Zustandsgleichung p*v=R*T:

p_1/T_1=p_2/T_2

Bei der Isochoren Erwärmung tritt wegen v=const und dv=0, keine Volumensänderungsarbeit auf.
isochore-erwaermung

Anwendung der Isochoren Erwärmung auf den 1. Hauptsatz:

  1. U = Innere Energie des Systems; definiert durch Änderung U_2-U_1.
  2. W_12 = Arbeit

U_2-U_1=Q_12+W_12

Da jedoch v=const und somit auch dv=0, tritt keine Volumenänderungsarbeit auf -> W_12=0.
Somit gilt bei der isochoren Erwärmung nach dem 1. Hauptsatz für geschlossene Systeme folgendes:

Q_12=U_2-U_1

Mit der isochoren spezifischen Wärmekapazität c_v gilt:

Q_12=U_2-U_1=int{1}{2}{c_v*dT}
oder: Q_12=c_vm delim{|}{(T_2-T_1)}{|} mit c_vm als Mittelwert von c_v zwischen T_1 und T_2

MERKE:
Bei isochoren Zustandsänderungen ist die zu- bwz. abgeführte Wärme gleich der Änderung der inneren Energie.

Q_12=dU_12=U_2-U_1

2.2 – Isobare Zustandsänderung

isobare-zustandsaenderungBei der isobaren Zustandsänderung (p=const) gilt nach der Zustandsgleichung des Idealen Gases p*v=R*T:

v_1/T_1=v_2/T_2 oder: v_1/v_2=T_1/T_2

Die Isobare Zustandsänderung von 1 nach 2 leistet Volumenänderungsarbeit:

w_12=-p int{1}{2}{d_v}=-p*(v_2-v_1)

und für ein Ideales Gas auch:

w_12=-R*(T_2-T_1)

Nach dem 1. Hauptsatz gilt für die zugeführte Wärme:

Q_12=U_2-U_1-W_12=U_2-U_1+pv_2-pv_1

und mit h=u+pv:

Q_12=h_2-h_1=int{1}{2}{c_p*dT}
ODER: Q_12=c_p m delim{|}{(T_2-T_1)}{|}; mit c_p m als Mittelwert

MERKE:
Bei der Isobaren Zustandsänderung ist die zu- bzw abgeführte Wärme gleich der Änderung der Enthalpie.

Q_12=dH=H_2-H_1=int{1}{2}{c_p*dT}

2.3 – Isotherme Zustandsänderung

isotherme-zustandsaenderungBei der Isothermen Zustandsänderung ist die Volumenänderungsarbeit allgemein: W_12=-{1}{2}{p*dv}

Für Ideale Gase gilt mit p=R*T/v:

W_12=-R*T int{1}{2}{dv/v}=-R*T*ln v_2/v_1=-R*T*ln p_1/p_2=-p_1*v_1*ln p_1/p_2

Volumenänderungsarbeit und technische Arbeit w_tsind bei isothermer Zustandsänderung eines Idealen Gases gleich hoch.

Aus dem 1. Hauptsatz du=dg+dw=dq-pdv folgt für Ideale Gase, bei denen die innere Energie n nur von der Temperatur abhängt, für isothermische Zustandsänderungen:

du=0=dq+dw

ODER:

q_12=-w_12=-w_t_12

MERKE:
Zugeführte Wärme wird bei isothermer Zustandsänderung eines Idealen Gases vollständig als Arbeit wieder abgegeben.

q_12=-w_12

Teil 3 – Zusammenfassung der Idealen Gase

3.1 – Wichtige Formeln:

  1. p*V=R*m*T >> Ideale Gasgleichung
  2. dU=dQ-p*dV >> 1. Hauptsatz für geschlossene Systeme
  3. U=c_v*m*T >> Innere Energie
  4. H=U+p*V >> Enthalpie
  5. c_p=c_v*R >> Wärmekapazität

3.2 – Zusammenfassung der Zustandsänderungen

3.2.1 – Isochore Zustandsänderung:

Zugeführte Wärme erhöht nur die Innere Energie:

W_12=0; Q_12=c_v*m* Delta T

3.2.2 – Isotherme Zustandsänderung:

Zugeführte Wärme wird komplett in mechanische Arbeit umgewandelt:

Q_12=-W_12

W_12=m*r*T*ln(V_1/V_2) oder ln(p_2/p1)
W_12=p_1*V_1*ln(V_1/V_2) oder ln(p_2/p_1)

3.2.3 – Isobare Zustandsänderung:

Q_12=c_p*m* Delta T >> Übertragene Wärme
W_12=-m*R* Delta T >> Volumenänderungsarbeit

3.2.4 – Isentrope Zustandsänderung:

Q_12=0 >> Keine Übertragung von Wärme
W_12=m*R* Delta T/(K-1) >> Volumenänderungsarbeit

3.2.5 – Polytrope Zustandsänderung:

Q_12=c_v*m* Delta T (n-K)/(n-1) >> übertragende Wärme
W_12=m*R* Delta T /(n-1) >> Volumenänderungsarbeit

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ÜBER DEN AUTOR

Roman

PG Hey, willkommen auf meinem Blog! Ich bin 24 Jahre alt und studiere Fahrzeug und Flugzeugtechnik an der FH München. In meiner Freizeit betreibe ich diesen Blog und gehe gerne fotografieren. Um mehr über mich und diese Seite zu erfahren, oder Kontakt mit mir aufzunehmen, habe ich die "About-Seite" eingerichtet. Viele Grüße

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